Эквиваленция в логике примеры

Эквиваленция в логике примеры

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».

Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А≡В, А

В и выражается с помощью логической функции F10, которая задаётся соответствующей таблицей истинности (таблица 16).

Таблица 16 – Таблица истинности логической функции эквивалентности

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют выполнять эквивалентные преобразования логических выражений.

Для логических величин обычно используются три операции:

Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, Ʌ.

Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.

Всякое высказывание тождественно самому себе:

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

А & Ā=0

Закон исключённого третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:

Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:

=А.

Законы де Моргана (общей инверсии)

= Ā & ;

= Ā .

Важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют законы алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

Читайте также:  Пылесос для домашней мастерской

Закон коммутативности (переместительный)

В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение А & В = В & А.

Закон ассоциативности (сочетательный)

Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение Логическое сложение

Закон дистрибутивности (распределительный)

В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения относительно сложения

Дистрибутивность сложения относительно умножения

ab+ ас = а(b+с) — в алгебре

(А & В) v (A & С) =А & (B v С)

(A v В) & (A v С) = A v (B & С)

Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение (А & В) v (А & ).

Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

(А & В) v (А & ) = А & (B v ).

По закону исключённого третьего В v =1, следовательно:

А&(В v )=А & 1=А.

Эквиваленция — это логическая операция, принятая в формализованных языках (см. Язык формализованный) для образования сложных высказываний (формул) из элементарных (простых) высказываний (см. Высказывание) и по смыслу равнозначная строгому условию «если…, то…», принятому в естественном языке (см. Язык). Эквиваленция читается: «A эквивалентно B», или «A равнозначно B», или «A то же самое, что B», или «A, если и только если B», или «A, тогда и только тогда, когда B»; записывается: А ≡ В, другое обозначение эквиваленции: AB (применяются также стрелки другой формы, но всегда указывающие на соотношение равнозначности); другие названия эквиваленции: эквивалентность, равнозначность.

Понятие эквиваленции сформировалось в процессе обособления языка логики и его последующей символизации (см. Логика символическая). В классической логике (см. Логика), формальной логике (см. Логика формальная), языках формальных теорий (см. Формализация) и языках программирования эквиваленция составляет одну из пяти наиболее распространённых логических связок, или логических операций (см. Логические операции), наряду с конъюнкцией (см. Конъюнкция), дизъюнкцией (см. Дизъюнкция), импликацией (см. Импликация) и отрицанием (см. Отрицание).

Суждение — форма мышления, посредством которой что-либо утверждается или отрицается о предмете, и которая обладает логическим значением истины или ложности.

Сложное суждение – суждение, образованное из простых посредством логических союзов конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности. Логический союз – это способ соединения простых суждений в сложное, при котором логическое значение последнего устанавливается в соответствии с логическими значениями составляющих его простых суждений

Эквивалентность – сложное суждение, которое принимает логическое значение истины тогда и только тогда, когда входящие в него суждения обладают одинаковым логически значением, т.е. одновременно либо истинны, либо ложны. Логический союз эквивалентности выражается грамматическими союзами «тогда и только тогда, когда», «если и только если». Например, «Если и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный». Символически записывается или pq (если и только если р, то q).

Логическое значение эквивалентности соответствует таблице истинности:

Истинность р достаточна для признания истинным q, и наоборот.

Отношения между ними характеризуется и как необходимое: ложность р служит показателем ложности q, а ложность q указывает на ложность р.

Пример: «Если и только если человек награжден медалями (р), то он имеет право на ношение».

20. Отрицание и двойное отрицание, условия истинности и правила вывода, свойственные отрицанию и двойному отрицанию. Понятие о правилах вывода в логике высказываний.

Отрицанием называется логическая операция, посредством которой образуется новое суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда, когда исходное суждение ложно и, наоборот, логическое значение ложности тогда, когда исходное суждение истинно. Отрицание отрицания (двойное отрицание) есть возврат к исходному логическому значению. Логическое значение отрицания и двойного отрицания можно представить в виде матрицы, которая называется таблицей истинности.

Отрицаниеэто логическая операция, с помощью которой из одного высказывания получают новое, при этом простое суждение P превращается в сложное, и если исходное простое суждение истинно, то новое сложное суждение ложно – «неверно, что P».

Двойное отрицаниеэто операция по отрицанию отрицательного суждения. Повторное отрицание ведет к утверждению или, иначе, отрицание отрицания

Рассмотрим правило вывода, т.е. введение, исключение в сложных суждениях.

Общее определение: каждое из правил вывода разрешает из посылки правил записать формулу того вида, что имеет заключение правила.

Введение конъюнкции – двухпосылочное правило, позволяющее объединить 2 формулы «a» и «b» в конъюнкцию. Исключение конъюнкции – однопосылочное правило, позволяющее выделять как левый, так и правый члены конъюнкции

Введение дизъюнкции – однопосылочное правило, утверждающее возможность присоединить к некоторой формуле «a» формулу «b»

Исключение дизъюнкции – двухпосылочное правило, утверждающее, что имея формулу a или b и формулу, отрицающую один из дизъюнктов, можно перейти к формуле 2-го дизъюнкта.

Исключение импликации: двухпосылочное правило, выражаемое утверждающим и отрицающим модусами условно категорического силлогизма.

Исключение отрицания – однопосылочное правило, позволяющее снимать двойное отрицание с любой формулы

Специфика правил введения правил импликации и отрицания в том, что в них включается формула «с», а это последняя посылка в рассуждении.

Введение импликации – однопосылочное правило, где на место антецедента ставится последняя посылка, а на место консеквента искомая формула.

Введение отрицания – двухпосылочное правило, позволяющее при выведении 2-х противоречащих формул перейти к формуле, отрицающей последнее рассуждение.

Введение эквиваленции – двухпосылочное правило, позволяющее из формул А и В, выражающих прямую и обратную условную связь перейти к заключению о их эквивалентности.

Исключение эквиваленции – однопосылочное правило, позволяющее из формулы эквивалентности А и В получить формулы, выражающие прямую и обратную зависимость А и В.

Наиме­но­ва­ние: Эквиваленция (образовано от латинского слова: aequivalens — равнозначный, равноценный, равносильный).
Опреде­ле­ние: Эквиваленция — это логическая операция, принятая в формализованных языках для образования сложных высказываний из простых и по смыслу равнозначная строгому условию «если…, то…», принятому в естественном языке.
Раздел: Концепты Концепты философского дискурса Концепты научного дискурса
Дискурс: Философия
Субдис­курс: Семантика Логическая семантика
Логика Логика формальная Логика символическая Логика высказываний
Связан­ные концепты: Логические операции Высказывание Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Отрицание
Текст статьи: Авторы: Ф. И. Голдберг. Подготовка элект­рон­ной публи­ка­ции и общая редакция: Центр гума­нитар­ных техно­логий. Ответст­вен­ный редактор: А. В. Агеев . Инфор­ма­ция на этой стра­нице пери­оди­чески обнов­ля­ется. Послед­няя редакция: 08.02.2020.
Ссылка на основную публикацию
Что такое медиана числового ряда
Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма данных чисел, поделенная на количество слагаемых. Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда....
Что делать если игры не скачиваются
Play Market — официальный магазин приложений для Андроида и главный источник загрузки новых игр и программ на смартфоны и планшеты...
Что делать если заглючил планшет
Если завис планшет леново, самсунг, асус, престижио, дигма и так далее, да еще и в самое неподходящее время радости конечно...
Что такое номер ssid
Компьютеры и телефоны уже давно прочно вошли в нашу жизнь. Помимо смартфонов и ноутбуков, существуют еще десятки устройств, которые имеют...
Adblock detector