Функция параллельная оси оу

Функция параллельная оси оу

Линейная функция
График линейной функции
Прямые, параллельные оси ординат
Уравнения вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

Линейная функция

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

y = kx + b, (1)

где k и b – произвольные (вещественные) числа.

При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .

Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .

График линейной функции

При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

Рис.1
Рис.2
Рис.3

При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

Рис.4
Рис.5
Рис.6

При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k y = kx + b1 и y = kx + b2 ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны .

имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов.

y = kx + b1 и

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

Угловой коэффициент прямой линии

y = kx (2)

равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Рис.10
Рис.11
Рис.12

Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .

При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой

x = c , (3)

где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Рис.13
Рис.14
Рис.15

Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

px + qy = r , (4)

где p, q, r – произвольные числа.

В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .

что и требовалось.

В случае, когда получаем:

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

0 = r , (5)

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет.

Замечание 2 . При любом значении r1 , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением

px + qy = r1 , (6)

параллельна прямой, заданной уравнением (4) .

Замечание 3 . При любом значении r2 прямая линия, заданная уравнением

qx + py = r2 , (7)

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) .

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и

  1. параллельной к прямой
    4x + 5y = 7 ; (8)
  2. перпендикулярной к прямой (8).

В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

4x + 5y = r1 , (9)

где r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

– 5x + 4y = r2 , (10)

где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

•Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
•Графиком линейной функции является прямая.

1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:

2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
• если k>0, то функция y=kx+b возрастает
• если k 0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
• если b ½ x+3; y=x+3

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
• График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
• График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.
• График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

Линейная функция – двучлен первой степени, т.е. функция вида у = ах + b, (1)

где коэффициенты а и b – действительные числа.

Область определения функции (1) есть все множество действительных чисел, т.е. функция задана в интервале (–¥, +¥), множество значений функции есть также интервал (–¥, +¥). Если а > 0, то функция возрастающая, при а 0, тогда при х2 > х1 и y2 > y1. Действительно, y2 = ах2 + b, y1 = ах1 + b, откуда y2 – y1 =а (x2 – x1), а так как а > 0 и x2 – x1> 0, то y2 – y1> 0или y2 > y1. Убывание функции при а 0, или вниз, если b

Получили уравнение (1), что и требовалось доказать.

Известно, что положение прямой определяется двумя точками, принадлежащими ей. Отсюда, чтобы построить график линейной функции, т.е. построить прямую линию по ее уравнению, надо найти любые две точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, построить их и через них провести прямую. Построенная прямая будет искомым графиком данной линейной функции.

Рассмотрим частные случаи функции (1).

1) Если b = 0, то у = ах. Функция вида у = ах называется прямой пропорциональностью. Говорят так же, что в этом случае величина у прямо пропорциональная величине х. Частное принимает одно и тоже значение (кроме пары (0, 0)) и называется коэффициентом пропорциональности.

Этот случай уже рассмотрен выше. Укажем только, что если а = 1 (угол ), то график функции у = x является биссектрисой первого и третьего координатных углов (рис. 2а).

у у

Ссылка на основную публикацию
Фейковая карта visa с деньгами
Getting a valid Visa credit card number Visa credit card number (Bulk Generate Visa Cards) To check if your credit...
Удаленная игра на ps4
Использование приложения (Дистанционное воспроизведение PS4) для управления системой PlayStation®4 с компьютера. При установке этого приложения на ПК или Mac можно...
Удаленное подключение к virtualbox
Содержание статьи Если хоть раз попробуешь установить Linux под VirtualBox’ом, может сложиться впечатление, что это очень простой инструмент. Интерфейс виртуальной...
Фейсбук страница владимира панаева
с 16 по 26 Декабря Поволжское отделение Российской академии художеств Лаврушинский пер., д. 15Москва 15 декабря в 18.00 в Координационном...