Формулы периода колебаний математического и пружинного маятника

Формулы периода колебаний математического и пружинного маятника

Тестирование онлайн

Математический маятник

Это материальная точка, подвешенная на тонкой нерастяжимой и невесомой нити.

Если отклонить маятник от положения равновесия, то сила тяжести и сила упругости будут направлены под углом. Равнодействующая сила уже не будет равна нулю. Под воздействием этой силы маятник устремится к положению равновесия, но по инерции движение продолжится и маятник отклоняется в другую сторону. Равнодействующая сила его снова возвращает. Далее процесс повторяется.

Период колебаний математического маятника зависит от его длины, определяется по формуле

Важно где происходят колебания! На Луне и на Земле один и тот же математический маятник при одинаковых начальных условиях колебаться будет по-разному. Так как ускорение свободного падения на Луне отличается от ускорения свободного падения на Земле.

Пружинный маятник

Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует. В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.

§2 Пружинный маятник.

Упругие и квазиупругие силы .

Уравнение колеблющейся пружины

Рассмотрим тело массы m , закрепленное на пружине с коэффициентом жесткости k (массой пружины пренебрегаем). Растянем пружину на х. Тогда по закону Гука на тело будет действовать сила упругости F упр :

1) величина силы пропорциональна величине отклонения системы от положения равновесия

2) направление сила противоположно направлении смещения, т.е. сила всегда направлена к положению равновесия (при х > 0, F упр F упр > 0)

3) В положении равновесия х = 0 и F упр = 0.

Систему, состоящую из материальной точки массы m и абсолютно упругой пружины с коэффициентом жесткости k , в которой возможны свободные колебания, называют пружинным маятником.

Запишем второй закон Ньютона для рис. б

Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону F = — k х , то она называется квазиупругой силой.

Получим уравнение пружинного маятника. Учтем в записи второго закона Ньютона, что

— дифференциальное уравнение точки, совершающей колебательное движение (дифференциальное уравнение пружинного маятника).

Решение дифференциального уравнения:

— уравнение колеблющейся точки (уравнение колеблющейся пружины).

— собственная частота колебаний.

§3 Математический и физический маятники.

Периоды колебаний математического и физического маятников

Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Материальная точка — тело, масса которого сосредоточена в центре масс и размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь.

Математический маятник при колебаниях совершает движение по дуге окружности радиуса . Его движение подчиняется законам вращательного движения.

Основное уравнение вращательного цветения запишется в виде

(1)

М – момент сил, I – момент инерции, ε – угловое ускорение.

Равнодействующая сил и равна .

Из треугольника АВС

таким образом, колебания математического маятника происходят под действием квазиупругой силы — силы тяжести.

Тогда (1) запишется в виде

(2)

Знак минус учитывает, что векторы и имеют противоположные направления (угол поворота можно рассматривать, как псевдовектор углового смещения , направление вектора определяется по правилу правого винта, из-за знака минус направлен в противоположную сторону).

Сократив в (2) на m и получим

При малых углах колебаний α = 5 ÷6° , , получим

получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

уравнение математического маятника.

из которого видно, что угол α изменяется по закону косинуса. α0 — амплитуда, ω0 — циклическая частота, φ0 — начальная фаза.

— период колебаний математического маятника

Физический маятник — твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела, называемой осью качания маятника.

Основное уравнение – вращательного движения для физического маятника запишется в виде

При малых углах колебаний и уравнение движения имеет вид

— дифференциальное уравнение физического маятника.

— период колебаний физического маятника

следовательно, математический маятник с длиной

Тестирование онлайн

Математический маятник

Это материальная точка, подвешенная на тонкой нерастяжимой и невесомой нити.

Если отклонить маятник от положения равновесия, то сила тяжести и сила упругости будут направлены под углом. Равнодействующая сила уже не будет равна нулю. Под воздействием этой силы маятник устремится к положению равновесия, но по инерции движение продолжится и маятник отклоняется в другую сторону. Равнодействующая сила его снова возвращает. Далее процесс повторяется.

Период колебаний математического маятника зависит от его длины, определяется по формуле

Важно где происходят колебания! На Луне и на Земле один и тот же математический маятник при одинаковых начальных условиях колебаться будет по-разному. Так как ускорение свободного падения на Луне отличается от ускорения свободного падения на Земле.

Пружинный маятник

Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует. В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.

Существуют две простые колебательные системы, которые решены и рассматриваются в школьной программе, — это пружинный и математический маятник. Рассмотрим каждую из них:

  1. Пружинный маятник

Пружинным маятником называется система, состоящая из тела массы и пружины, жёсткостью (рис. 1).

Рис. 1. Пружинный маятник

Для такой системы выведены следующие соотношения:

  • где
  • — собственная частота колебаний системы

Также можем ввести период такого маятника:

  • где
  • — период колебаний пружинного маятника.

2. Математический маятник

Рис. 2. Математический маятник

Математическим маятником называется малое тело (материальная точка) массы , подвешенная на нити длиной .

Для такой системы выведены следующие соотношения:

  • где
  • — собственная частота колебаний системы

Также можем ввести период такого маятника:

  • где
  • — период колебаний пружинного маятника.

Вывод: реальные колебательные системы в курсе школьной физики представлены только пружинным и математическим маятником, которые описываются соотношениями (1) — (4). Достаточно определить необходимый параметр и решить систему.

Маятник на пружине — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

T = 2 π m k >>> .

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения. Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

m a = − k x ⟺ x ¨ + k m x = 0 >+ >x=0>

Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:

x ¨ + k m x = f ( x ) >+ >x=f(x)> , где f(x) — это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.

В случае наличия затухания, пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c:

x ¨ + c m x ˙ + k m x = f ( x ) >+ > >+ >x=f(x)>

Ссылка на основную публикацию
Фейковая карта visa с деньгами
Getting a valid Visa credit card number Visa credit card number (Bulk Generate Visa Cards) To check if your credit...
Удаленная игра на ps4
Использование приложения (Дистанционное воспроизведение PS4) для управления системой PlayStation®4 с компьютера. При установке этого приложения на ПК или Mac можно...
Удаленное подключение к virtualbox
Содержание статьи Если хоть раз попробуешь установить Linux под VirtualBox’ом, может сложиться впечатление, что это очень простой инструмент. Интерфейс виртуальной...
Фейсбук страница владимира панаева
с 16 по 26 Декабря Поволжское отделение Российской академии художеств Лаврушинский пер., д. 15Москва 15 декабря в 18.00 в Координационном...