Фигура с наибольшей площадью

Фигура с наибольшей площадью

Рассмотрение этого пункта начнём с решения задачи.

Задача. В роковой в своей жизни день Пахом прошёл 40 вёрст, идя по сторонам трапеции площадью 78 квадратных вёрст. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника, трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчёта. Интересно определить: выгадал он или прогадал от того, что участок его оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае должен он был получить большую площадь земли?

Решение. Прямоугольников с обводом в 40 вёрст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь.

Вот ряд примеров:

14 6 = 84 кв. вёрст

13 7 = 91 кв. вёрст

12 8 = 96 кв. вёрст

11 9 = 99 кв. вёрст

Мы видим, что у всех этих фигур при одном и том же периметре в 40 вёрст площадь больше, чем у нашей трапеции. Однако возможны и такие прямоугольники с периметром в 40 вёрст, площадь которых меньше, чем у трапеции:

18 2 = 36 кв. вёрст

19 1 = 19 кв. вёрст

19,5 0,5 = 9,75 кв. вёрст.

Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определённого ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же обводе. Зато можно дать вполне определённый ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Сравнивая наши прямоугольники, замечаем, что чем меньше разница в длине сторон, тем площадь прямоугольника больше. Естественно заключить, что когда этой разницы не будет вовсе, т. е. когда прямоугольник превратится в квадрат, площадь фигуры достигнет наибольшей величины. Она будет равна тогда 10 10 = 100 кв. вёрст. Легко видеть, что этот квадрат действительно превосходит по площади любой прямоугольник одинакового с ним периметра. Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади, — на 22 квадратной версты больше, чем он успел охватить.

Замечательное свойство квадрата

Замечательное свойство квадрата — заключать в своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими прямоугольниками того же периметра. Приведём строгое доказательство.

Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким периметром, то каждая сторона его должна равняться . Докажем, что укорачивая одну его сторону на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что площадь квадрата больше площади прямоугольника:

Так как правая сторона этого неравенства равна , то всё выражение принимает вид: или .

Но последнее неравенство очевидно: квадрат всякого количества, положительного или отрицательного, больше нуля. Следовательно, справедливо и первоначальное равенство, которое привело нас к этому.

Итак, квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром.

Отсюда следует и то, что из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр. В этом можно убедиться следующим рассуждением. Допустим, что это не верно и что существует такой прямоугольник А, который при равной с квадратом В площади имеет периметр меньший, чем у него. Тогда, начертив квадрат С того же периметра, как у прямоугольника А, получим квадрат имеющий большую площадь, чем у А, и, следовательно, большую, чем у квадрата В. В итоге получили, что квадрат С имеет периметр меньший, чем квадрат В, а площадь большую, чем он. Это, очевидно, невозможно: раз сторона квадрата С меньше, чем сторона квадрата В, то и площадь должна быть меньше. Значит нельзя было допустить существование прямоугольника А, который при одинаковой площади имеет периметр меньший, чем у квадрата. Другими словами, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Читайте также:  Программа для работы с должниками жкх бесплатно

Знакомство с этими свойствами квадрата помогло Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Зная, что он может пройти в день без напряжения, например, 36 вёрст, он пошёл бы по границе квадрата со стороной 9 вёрст и к вечеру был бы обладателем участка в 81 квадратную версту, — на 3 квадратные версты больше, чем он получил со смертельным напряжением сил. И, наоборот, если бы он наперёд ограничился какой-нибудь определённой площадью прямоугольного участка, например, в 36 квадратных вёрст, то мог бы достичь результата с наименьшей затратой сил, идя по границе квадрата, сторона которого — 6 вёрст.

Участки другой формы

Но, может быть, Пахому ещё выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной формы, а какой-нибудь другой — четырёхугольной, треугольной, пятиугольной и т. д.

Познакомимся со следующими утверждениями, которые и отвечают на поставленный вопрос.

Во-первых, из всех четырёхугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Поэтому, желая иметь четырёхугольный участок, Пахом никакими ухищрениями не мог бы овладеть более чем 100 квадратными вёрстами (считал, что максимальный дневной пробег его — 40 вёрст).

Во-вторых, квадрат имеет большую площадь, чем всякий треугольник равного периметра. Равносторонний треугольник такого же периметра имеет сторону вёрстам, а площадь (по формуле , где S — площадь, а — сторона) кв. вёрст, т. е. меньше даже, чем у той трапеции, которую Пахом обошёл. Дальше будет доказано, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Значит, если этот наибольший треугольник имеет площадь, меньшую площади квадрата, то все прочие треугольники того же периметра по площади меньше, чем квадрат).

Но если будем сравнивать площадь квадрата с площадью пятиугольника, шестиугольника и т. д. равного периметра, то здесь неравенство его прекращается: правильный пятиугольник обладает наибольшей площадью, правильный шестиугольник — ещё большей, и т. д. Легко убедиться в этом на примере правильного шестиугольника. При периметре в 40 вёрст его сторона , площадь (по формуле ) равна

Избери Пахом для своего участка форму правильного шестиугольника, он при том же напряжении сил овладел бы площадью на 115 -78, т. е. на 37 квадратных вёрст больше, чем в действительности, и на 15 квадратных вёрст больше, чем дал бы ему квадратный участок.

Треугольник с наибольшей площадью

Мы уже заметили раньше, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Докажем это.

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с и периметром выражается так:

Площадь S треугольника будет наибольшей тогда же, когда станет наибольшей величиной и её квадрат , или выражение , где р, полупериметр, есть, согласно условию, величина неизменная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение становится наибольшим. Заметив, что сумма этих трёх множителей есть величина постоянная,

Читайте также:  Локальные пользователи и группы windows server 2012

заключаем, что произведение их достигает наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, т. е. когда осуществится равенство

Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой.

Можно доказать строго геометрически, что чем больше сторон у правильного многоугольного участка, тем бблыиую площадь заключает он при одной и той же длине границ. А самую большую площадь при данном периметре охватывает окружность. Если бы Пахом бежал по кругу, то, пройдя те же 40 верст, он получил бы цлощадь в

Большею площадью при данном периметре не может обладать никакая другая фигура, безразлично — прямолинейная или криволинейная.

Мы позволим себе несколько остановиться на этом удивительном свойстве круга заключать в своих границах большую площадь, чем всякая другая фигура любой формы, имеющая тот же периметр. Может быть, некоторые читатели полюбопытствуют узнать, каким способом доказывают подобные положения. Приводим далее доказательство — правда, не вполне строгое — этого свойства круга, доказательство, предложенное математиком Яковом Штейнером. Оно довольно длинно, но те, кому оно покажется утомительным, могут пропустить его без ущерба для понимания дальнейшего.

Надо доказать, что фигура, имеющая при данном периметре наибольшую площадь, есть круг. Прежде всего установим, что искомая фигура должна быть выпуклой. Это значит, что всякая ее хорда должна полностью располагаться внутри фигуры. Пусть у нас имеется фигура АаВС (рис. 176), имеющая внешнюю хорду АВ. Заменим дугу а дугою Ъ, симметричною с нею. От такой замены периметр фигуры АВС не изменится, площадь же явно увеличится. Значит, фигуры вроде АаВС не могут быть теми, которые при одинаковом периметре заключают наибольшую площадь.

Итак, искомая фигура есть фигура выпуклая. Далее мы можем наперед установить еще и другое свойство этой фигуры: всякая хорда, которая делит пополам ее периметр, рассекает пополам и ее площадь. Пусть фигура AMBN (рис. 177) есть искомая, и пусть хорда MN делит ее периметр пополам. Докажем, что площадь AMN равна площади MBN. В самом деле, если бы какая-либо из этих частей была по площади больше другой, например AMN > MNB, то, перегнув фигуру AMN по MN, мы получили бы фигуру AMN, площадь которой больше, чем у первоначальной фигуры AMBN, периметр же одинаков с нею. Значит, фигура AMBN, в которой хорда, рассекающая периметр пополам, делит площадь на неравные части, не может быть искомая (т.е. не может иметь наибольшую площадь при данном периметре).

Рис. 176. Устанавливаем, что фигура с наибольшей площадью должна быть выпуклой

Рис. 177. Если хорда делит пополам периметр выпуклой фигуры с наибольшей площадью, то она рассекает пополам и площадь

Прежде чем идти далее, докажем еще следующую вспомогательную теорему: из всех треугольников с двумя данными сторонами наибольшую площадь имеет тот, у которого стороны эти заключают прямой угол. Чтобы доказать это, вспомним тригонометрическое выражение площади S треугольника со сторонами а и b и утлом С между ними:

Читайте также:  Как удалить аккаунт в топфейсе

Выражение это будет, очевидно, наибольшим (при данных сторонах) тогда, когда sin С примет наибольшее значение, т.е. будет равен единице. Но угол, синус которого равен 1, есть прямой, что и требовалось доказать.

Рис. 178. Допускаем сущест- Рис. 179. Устанавливаем, что из вование некруговой выпуклой всех фигур с данным пери фигуры с наибольшей площадью метром наибольшую площадь

Теперь можем приступить к основной задаче— к доказательству того, что из всех фигур с периметром р наибольшую площадь ограничивает окружность. Чтобы убедиться в этом, попробуем допустить существование некруговой выпуклой фигуры MANB (рис. 178), которая обладает этим свойством. Проведем в ней хорду MN, делящую пополам ее периметр; она же, мы знаем, разделит пополам и площадь фигуры. Перегнем половину MKN по линии MN так, чтобы она расположилась симметрично (MK’N). Заметим, что фигура MNK’M обладает тем же периметром и тою же площадью, что и первоначальная фигура MKNM. Так как дуга MKN нс есть полуокружность (иначе нечего было бы и доказывать), то на ней должны находиться такие точки, из которых отрезок MN

виден не под прямым углом. Пусть К — такая точка, а К‘— ей симметричная, т.е. углы К и К‘— не прямые. Раздвигая (или сдвигая) стороны МК, KN, МК NK’, мы можем сделать заключенный между ними угол прямым и получим тогда равные прямоугольные треугольники. Эти треугольники сложим гипотенузами, как на рис. 179, и присоединим к ним в соответствующих местах заштрихованные сегменты. Получим фигуру M’KN’K’, обладающую тем же периметром, что и первоначальная, но, очевидно, большею площадью (потому что прямоугольные треугольники M’KN’ и M’K’N’ имеют большую площадь, чем непрямоугольные MKN и MK’N). Значит, никакая некруговая фигура не может обладать при данном периметре наибольшею площадью. И только в случае круга мы указанным способом не могли бы построить фигуру, имеющую при том же периметре еще большую площадь.

Вот каким рассуждением можно доказать, что круг есть фигура, обладающая при данном периметре наибольшею площадью.

Легко доказать справедливость и такого положения: из всех фигур равной площади круг имеет наименьший периметр. Для этого нужно применить к кругу те рассуждения, которые мы раньше приложили к квадрату (см. «Замечательное свойство квадрата»).

Читать онлайн книгу

Можно доказать строго геометрически, что чем больше сторон у правильного многоугольного участка, тем большую площадь заключает он при одной и той же длине границ. А самую большую площадь при данном периметре охватывает окружность. Если бы Пахом бежал по кругу, то, пробежав те же 40 верст, он получил бы площадь в 127 кв. верст.

Большей площадью при данном периметре не может обладать никакая другая фигура, безразлично – прямолинейная или криволинейная.

Легко доказать справедливость и такого положения: из всех фигур равной площади круг имеет наименьший периметр. Для этого нужно применить к кругу те рассуждения, которые мы раньше приложили к квадрату.

Ссылка на основную публикацию
Файл с расширением dav чем открыть
Файл формата DAV открывается специальными программами. Чтобы открыть данный формат, скачайте одну из предложенных программ. Чем открыть файл в формате...
У вас сломался холодильник
Поломка холодильника всегда застает в врасплох. И определить причину моментально практически невозможно. Нужно как можно быстрее «спасти» продукты. Обычно надолго...
У каких марок телефонов хорошая камера
Производители будто бы соревнуются - кто сколько датчиков встроит в девайс. Есть уже с четырьмя и даже пятью камерами! Как...
Файл подкачки windows 7 на флешку
В прошлой статье рассказано, как определиться с оптимальным размером файла подкачки, что делать с SSD-дисками и как установить размер файла...
Adblock detector