Что значит правая тройка векторов

Что значит правая тройка векторов

Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и b, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

С с

B a

A b

abc – правая тройка abc – левая тройка

Замечание. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат, т.е. системы, базисные векторы которых образуют правую тройку.

Векторное произведение векторов.

Вектор с называется векторным произведениемвекторов аи b, если:

1) |c| = |a||b|sinφ, где φ – угол между а и b.

2) c a, c b.

3) Тройка векторов abc является правой.

Обозначения векторного произведения: c =[ab],c = a b.

Свойства векторного произведения.

1) [ba] = — [ab].

Доказательство. Вектор с удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами b и аправую тройку векторов.

2) [ab] = 0 a b.

Доказательство. Из первого пункта определения 6.2 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов аи b.

3) Модуль векторного произведения |[ab]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах аи b.

Доказательство следует из первого пункта определения 6.2.

Орт еа произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный аи одинаково с ним направленный ( |еа| =1, еа || a).

Cледствие из свойства 3. [ab] = Se, где е – орт вектора [ab].

4) [(ka)b] = k[ab].

5) [(a + b)c] = [ac] + [bc].

6) Если в декартовой системе координат a = a, Ya, Za>, b = b, Yb, Zb>, то

7) [ab] =

Представим векторы а и bв виде: a = Xai+ Yaj +Zak, b = Xbi + Ybj +Zbk. Отметим, что [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j, [ii] = [jj] = [kk] = 0. Тогда с использованием свойств 4 и 5 получим:

Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = <3, -4, 2>и b = <1, 5, 1>.

[ab] = =<-14, -1, 19>.

17) Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрический смысл. Компланарные векторы.

Векторы называютсякомпланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Смешанным произведением векторов а, bи сназывается результат скалярного умножения векторного произведения [ab] на вектор с.

Обозначение: abc= [ab]c.

Свойства смешанного произведения.

1) Смешанное произведение [ab]c равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a,b,c, если они образуют правую тройку, или числу, противоположному этому объему, если abc – левая тройка. Если a,bи скомпланарны, то [ab]c = 0.

Читайте также:  Режим защищенного просмотра excel

а) Если a,b и с компланарны, то вектор [ab] ортогонален плоскости векторов аи b, и, следовательно, [ab] c. Поэтому [ab]c = 0.

в) Если a,b,cне компланарны, [ab]c = |[ab]||c| = S·|c|cosφ, где φ – угол между с и [ab]. Тогда |c|cosφ – высота рассматриваемого параллелепипеда. Таким образом, [ab]c = V, где выбор знака зависит от величины угла между с и [ab]. Утверждение доказано.

Следствие. [ab]c = a[bc].

Действительно, обе части равенства представляют объем одного и того же переллелепипеда. Поэтому положение векторных скобок в смешанном произведении не важно, и в его обозначении скобки не ставятся : abc.

abc = .

Доказательство. Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:

[ab]c = (YaZb – YbZa)Xc + (XbZa – XaZb)Yc + (XaYb – XbYa)Zc = .

Пример 1. Найдем смешанное произведение векторов a = <-3, 2, -1>, b = <2, 1, 0>, c = <-1, 3, -1>. Для этого вычислим определитель, составленный из их коодинат:

следовательно, векторы компланарны.

Полярная система координат

В учебнике приводятся примеры параллелепипедов, построенных как написано на левой и правой тройке.
Но не могу понять почему тройки разные, если в обоих случаях направление против часовой стрелки.
Подскажите пожалуйста, почему на втором рисунке левая тройка?

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой [⇨] . Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Таким образом, для определения векторного произведения двух векторов необходимо задать ориентацию пространства, то есть сказать, какая тройка векторов является правой, а какая — левой. При этом не является обязательным задание в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат. В частности, при заданной ориентации пространства результат векторного произведения не зависит от того, является ли рассматриваемая система координат правой или левой. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов в правой и левой ортонормированной прямоугольной системе координат отличаются знаком.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Читайте также:  Головки ударные для гайковерта 1 2 наборы

Полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы коллинеарны.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

Содержание

История [ править | править код ]

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году [1] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю [2] .

Определение [ править | править код ]

Векторным произведением вектора a → <displaystyle <vec >> на вектор b → <displaystyle <vec >> в трёхмерном евклидовом пространстве называется вектор c → <displaystyle <vec >> , удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c → <displaystyle <vec >>равна произведению длин векторов a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>на синусугла между ними (т.е. площади параллелограмма, образованного векторами a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>);
  • вектор c → <displaystyle <vec >>ортогонален каждому из векторов a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>;
  • вектор c → <displaystyle <vec >>направлен так, что тройка векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >>является правой
  • [⇨] .

c → = [ a → b → ] = [ a → , b → ] = a → × b → = a → ∧ b → . <displaystyle <vec >=[<vec ><vec >]=[<vec >,;<vec >]=<vec > imes <vec >=<vec >wedge <vec >.>

Замечания [ править | править код ]

В качестве определения можно использовать описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой (или левой) прямоугольной системе координат.

Также в качестве исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения.

Правые и левые тройки векторов в трёхмерном евклидовом пространстве [ править | править код ]

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных (линейно независимых) векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> в трёхмерном евклидовом пространстве. В ориентированном пространстве такая тройка векторов будет либо «правой», либо «левой».

Геометрическое определение [ править | править код ]

Совместим начала векторов в одной точке. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c → <displaystyle <vec >> кратчайший поворот от вектора a → <displaystyle <vec >> к вектору b → <displaystyle <vec >> виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Читайте также:  Как писать команде в варфейс

Определение с помощью руки [ править | править код ]

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и берётся название. На рисунке тройка векторов a → <displaystyle <vec >> , b → <displaystyle <vec >> , a → × b → <displaystyle <vec > imes <vec >> является правой.

Алгебраическое определение [ править | править код ]

Существует также аналитический способ определения правой и левой тройки векторов, который требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора a → <displaystyle <vec >> , второй — вектора b → <displaystyle <vec >> , третьей — вектора c → <displaystyle <vec >> . Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Замечания [ править | править код ]

Определения «правой» и «левой» тройки векторов зависят от ориентации пространства, но не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого определение самого векторного произведения. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов будут отличаться знаком в правой и левой прямоугольной системе координат.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

При заданной ориентации пространства система координат называется правой (левой), если тройка из векторов с координатами ( 1 , 0 , 0 ) <displaystyle (1,0,0)> , ( 0 , 1 , 0 ) <displaystyle (0,1,0)> , ( 0 , 0 , 1 ) <displaystyle (0,0,1)> является правой (левой).

Геометрическое определение и определение с помощью руки сами задают ориентацию пространства. Алгебраическое определение задаёт способ разбить тройки некомпланарных векторов на два класса одинаково ориентированных векторов, но оно не задаёт ориентацию пространства, а использует уже заданную — ту, на основании которой данная система координат считается правой или левой. При этом, если ориентация системы координат неизвестна, можно сравнивать знак определителя со знаком определителя другой тройки некомпланарных векторов, ориентация которой известна — если знаки совпадают, то тройки одинаково ориентированы, если знаки противоположны — тройки ориентированы противоположно.

Ссылка на основную публикацию
Что делать если игры не скачиваются
Play Market — официальный магазин приложений для Андроида и главный источник загрузки новых игр и программ на смартфоны и планшеты...
Хороший принтер для школьника
Для ученика возможность распечатывать доклады, рефераты и иллюстрации для занятий в школе - совсем не лишняя. Школьнику в XXI веке...
Хороший телефон с aliexpress
Обновлено 22.10.2019 На Алиэкспресс есть много разных производителей смартфонов. Даже есть такие международные бренды, как Apple. В этой подборке мы...
Что делать если заглючил планшет
Если завис планшет леново, самсунг, асус, престижио, дигма и так далее, да еще и в самое неподходящее время радости конечно...
Adblock detector