Что значит частное решение

Что значит частное решение

При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением:

. (1)

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, — производные искомой функции. При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (2)

Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

, (3)

то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

, (4)

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Так как , то уравнение (3) можно записать в виде или , где можно считать и . Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

Запишем уравнение (4) в виде . Тогда , , , где можно считать , т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция , которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

или .

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде , то оно называется интегралом данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида , зависящее от произвольной постоянной С, каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С. Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С, включая .

Задача Коши и её геометрическая интерпретация

Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши. Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение , в котором функция принимает заданное числовое значение , если независимая переменная x принимает заданное числовое значение , т.е.

, , (5)

где D – область определения функции .

Значение называется начальным значением функции, а начальным значением независимой переменной. Условие (5) называется начальным условием или условием Коши.

С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом: из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку .

Рассмотрим уравнение (1) первого порядка в нормальной форме , правая часть которого удовлетворяет в некоторой области D условиям теоремы существования и единственности решения.

Общим решением ДУ первого порядка называется функция у = j(x;c), содержащая одну произвольную постоянную и удовле­творяющая условиям:

1.Функция j(х;с) является решением ДУ при каждом фиксированном значении с.

2.Каково бы ни было начальное условие (4), можно найти такое значение постоянной с = со, что функция у = j(х;c) удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция у =j(х;со), полученная из общего решения у = j(x;c) при конкретном значении постоянной с = с0.

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав­нения Ф(х;у;с) = 0, то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение Ф(х;у;со) = 0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения у = j(x,с) есть семейство инте­гральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = j(x;co) — одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (хоо).

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задач Коши, будем называть особым решением.В этих точках терпит разрыв или функция f (x, y), или её частная производная f ¢ (x, y). Через каждую из таких точек может проходить либо несколько кривых, либо не проходит не одной.

Пример: Рассмотрим уравнение y ¢ = . Здесь f (x, y) = — имеет разрыв при x = 0 и непрерывна для всех x ¹ 0.

Во всей плоскости 0XY, за исключением оси OY, правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши. Точки, лежащие на оси OY, являются особыми. Общее решение этого уравнения y = сx. Оно геометрически представляет собой совокупность всех прямых, проходящих через начало координат, за исключением оси OY. Через каждую точку, не лежащую на оси OY, проходит единственная прямая. Через начало координат проходит бесчисленное множество интегральных кривых. Нарушение единственности объясняется тем, что начало координат является особой точкой. Через точки, лежащие на оси OY и не совпадающие с началом координат, не проходит ни одной интегральной кривой.

Особое решение, вообще говоря, не содержится в общем решении и не может быть выделено из него ни при каком конкретном значении постоянной с.

Итак, дифференциальное уравнение может иметь общее, частное и особое решение.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 9283 — | 7457 — или читать все.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Смотреть что такое "Частное решение" в других словарях:

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных … Большой Энциклопедический словарь

частное решение — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN partial solutionparticular solutionspecific solution … Справочник технического переводчика

частное решение — дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных. * * * ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при некотором … Энциклопедический словарь

частное решение — atskirasis sprendinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. partial solution; particular solution vok. Einzellösung, f; Partiallösung, f; partikuläre Lösung, f rus. частное решение, n pranc. solution particulière, f … Fizikos terminų žodynas

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при нек ром конкретном выборе произвольных постоянных … Естествознание. Энциклопедический словарь

Частное решение — Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество на интервале . См. также Общее решение дифференциального уравнения … Википедия

Частное решение — особый вид решения на охрану ГГ, принимаемый начальником (командиром) пограничного соединения, воинской части в случае изменения обстановки на охраняемом участке ГГ. Оформляется приказом (распоряжением), в котором ставятся новые или уточняются… … Пограничный словарь

Частное решение дифференциального уравнения — Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция , которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество на интервале . Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое… … Википедия

Решение систем линейных алгебраических уравнений — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример … Википедия

Решение СЛАУ: ФСР — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример 2 Неоднородные системы … Википедия

Ссылка на основную публикацию
Что выбрать windows 7 или windows 10
Сегодня в нашем блоге «Чо?! Чо?!» я раскрою все преимущества и недостатки новой операционной системы для ноутбуков, сравнив ее с...
Хороший набор инструментов для автомобиля отзывы
Счастливым обладателям автомобилей необходимо иметь при себе инструменты, помогающие в чрезвычайной ситуации с машиной. Ежегодно выпускается большое количество разнообразных инструментов,...
Хонор похожий на айфон
Apple активно продвигает iPhone XS, но есть ли достойная альтернатива дорогому и в чём-то «сырому» устройству? Honor наносит ответный удар...
Что в китае дешевле чем в россии
Я экономлю тысячи рублей, покупая товары из Китая через интернет Сегодня я расскажу Вам о том, что выгодно покупать в...