В позиционной системе счисления число можно представить в развернутой форме (в виде суммы разрядных слагаемых) и в свернутой форме. Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
Десятичное число А10= 4718,63 в развернутой форме будет имеет вид:
А10 = 4718,6310 = 4*10 3 + 7*10 2 + 1*10 1 + 8*10 0 + 6*10 -1 + 3*10 -2 .
Рассмотрим еще примеры записи чисел в развернутом виде
58910 → 500 + 80 + 9 = 5*100 + 8*10 + 9*1 = 5*10 2 +8*10 1 + 9*10 0
10 = 5*10 2 + 8*10 1 + 9*10 0
= 4*10 5 + 8*10 4 + 5*10 3 + 7*10 2 + 6*10 1 + 3*10 0
= 1*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0
= 7*8 2 + 6*8 1 + 4*8 0
= 7*16 2 + 6*16 1 + 4*16 0
= 5*10 1 + 4*10 0 + 3*10 -1 + 2*10 -2
= 5*8 1 + 4*8 0 + 3*8 -1 + 2*8 -2
= 5*16 1 + 4*16 0 + 3*16 -1 + 2*16 -2
= 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 + 0*2 -1 + 0*2 -2 + 1*2 3
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Запишите числа в развернутой форме
| 1) | 11110102 | 6) | 111101,0012 | 11) | 1110,112 | 16) | 100011102 |
| 2) | 2174,55 | 7) | 5771,0015 | 12) | 89784515 | 17) | 514763175 |
| 3) | 6479118 | 8) | 1622,848 | 13) | 1114878 | 18) | 113874,3348 |
| 4) | 1214710 | 9) | 512001410 | 14) | 1874,59610 | 19) | 1554,01410 |
| 5) | 1247,032116 | 10) | 15789416 | 15) | 163201,9816 | 20) | 88541216 |
Перевод чисел в десятичную систему счисления
1. Записать число в развернутом виде
2. Выполнить вычисления как в десятичной системе счисления
→ 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110
→ 3*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 3*64 + 4*8 + 7*1 = 192 + 32 + 7 = 23110
→ 10*16 1 + 1*16 0 + 11*16 -1 = 10*16 + 1*1 + 0,6875 = 160 + 1 + 0,6875 = 161,6875
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 10421 — 
| 8030 — 
или читать все.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ
Система счисления (СС)- это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над ними.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные
| Название | Позиционные | Непозиционные |
| Определение | Значение цифры в записи числа зависит от её позиции | От положения знака в изображении числа не зависит величина которую он обозначает |
| Пример | Арабская десятичная  |
Римская ССXXII |
| Алфавит | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |  |
| Основание | 10 | 7 |
Основанием системы счисления — называют количество цифр используемых для записи чисел
Алфавитом СС — называют все цифры (знаки) используемые для записи чисел
Развернутая форма записи числа
n — количество разрядов целой части
m — количество разрядов дробной части
123,4510=100+20+3+0,4+0,05=1∙10 2 +2∙10 1 +3∙10 0 +4∙10 -1 +5∙10 -2
123,458=1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2
Таблица эквивалентов чисел
| q=10 | q=16 | q=12 | q=8 | q=5 | q=4 | q=2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 10 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 11 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 11 | 12 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 12 | 13 | 111 |
| 8 | 8 | 8 | 10 | 13 | 20 | 1000 |
| 9 | 9 | 9 | 11 | 14 | 21 | 1001 |
| 10 | А | А | 12 | 20 | 22 | 1010 |
| 11 | В | В | 13 | 21 | 23 | 1011 |
| 12 | С | 10 | 14 | 22 | 30 | 1100 |
| 13 | D | 11 | 15 | 23 | 31 | 1101 |
| 14 | E | 12 | 16 | 24 | 32 | 1110 |
| 15 | F | 13 | 17 | 30 | 33 | 1111 |
| 16 | 10 | 14 | 20 | 31 | 100 | 10000 |
Полужирным шрифтом выделены алфавиты в соответствующих системах счисления.
Правило перевода числа из любой системы счисления в десятичную
Чтобы перевести число в десятичную систему счисления надо:
1. записать число в развернутой форме
2. все цифры перевести в десятичную СС (для СС с q>10)
3. вычислить значение полученного выражения
123,458=1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2 =64+16+3+0,5+5/64=83,57810
1BE,8416=1∙16 2 +B∙16 1 +E∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
=1∙16 2 +11∙16 1 +14∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
Решите примеры:
Правило перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления:
1. Последовательно выполнять деление с остатком данного числа и получаемых неполных частных на основание новой СС до тех пор пока не получим неполное частное, меньшее делителя.
2. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой СС, привести в соответствие с алфавитом новой СС (для СС с q>10)
3. Составить число в новой СС, записывая все остатки, начиная с последнего частного
| 1910 = 100112 |  |
| 1910 = 1316 |  |
| 20510 = CD16 |  |
Решите примеры:
Быстрый Перевод в двоичную систему счисления разложением на степени двойки
Перевод числа в двоичную СС для некоторых чисел удобно производить вторым способом: разложением на степени двойки. Конечно, для этого эти степени надо знать наизусть 😉
1910 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 =1∙2 4 + 0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 + 1∙2 0 =100112
Можно пропустить развернутую форму записи числа. Если степень есть, то ставим единицу, если по порядку степени нет (в нашем примере 3 и 2), то там ставим 0.
1910 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 100112
Особенно удобен этот способ для чисел значение которых близко к степени.
Решите примеры:
Правило перевода двоичного числа в СС с основанием q=2 n
1. данное двоичное число разбить начиная от запятой (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой
2. если в последних (крайних) группах окажется менее n разрядов, то их надо дополнить (с краю) незначащими нулями до нужного числа разрядов.
3. заменить каждую n-разрядную группу цифр соответствующей цифрой в СС основанием q=2 n
Для перевода необходимо пользоваться таблицей эквивалентов чисел.
Решите примеры:
Правило перевода чисел в СС с основанием q=2 n в двоичную СС
Чтобы число из СС с основанием q=2 n перевести в двоичную СС, надо каждую цифру этого числа заменить её n-разрядным эквивалентом в двоичной СС.
Система счисления
Система счисления — это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называютсяцифрами.
Внепозиционных системах счисления значение цифры не зависит от положения в числе.
Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:
Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются.
Пример 2.
VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.
Пример 3.
MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +
+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
Впозиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы.
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметьалфавит из n цифр. Обычно для этого при n 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:
В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, . q – 1. Запись числа q в q-ичной системе счисления имеет вид 10.
Развернутая форма записи числа
Пусть Aq — число в системе с основанием q, аi — цифры данной системы счисления, присутствующие в записи числа A, n + 1 — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа:
Развернутой формой числа А называется запись в виде:
Например, для десятичного числа:
В следующих примерах приводится развернутая форма шестнадцатеричного и двоичного чисел:
В любой системе счисления ее основание записывается как 10.
Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную. Например, перевод в десятичную систему написанных выше чисел производится так:
