Что такое приращение вектора

Что такое приращение вектора

Иродов И.Е. Механика. (Скачать)
Фриш Том 1. Механика. (Скачать)
Сивухин Д.В. Курс общей физики. Механика.
Савельев И.В. Курс ОБЩЕЙ физики. Механика.
Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс общей физики. Справочник по физике.

Механика.

Механика — наука о движении и равновесии тел.

Материальная точка — это тело, размеры и форма которого в условиях данной задачи несущественны.

Абсолютно твёрдое тело — это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.

Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве с течением времени.

    Виды механического движения:

  1. Поступательное.
  2. Вращение вокруг неподвижной оси.
  3. Вращение вокруг неподвижной точки.
  4. Плоское движение.
  5. Свободное движение.

Поступательное — это такое движение твёрдого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, всё время остаётся параллельной своему начальному положению.

Плоское — это такое движение твёрдого тела, при котором каждая его точка движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной (в данной системе отсчёта) плоскости.

Описание механического движения.

Тело отсчёта — это тело, относительно которого задаётся положение данного тела или данной точки.

Система отсчёта — совокупность тела отсчёта, связанной с ним системы координат, и синхронизованных между собой часов.

Физика и техника.

Физика тесно связана и с техникой, причем эта связь имеет двусторонний характер.

Физика выросла из потребностей техники. Так, развитие механики у древних греков было вызвано запросами строительной и военной техники того времени.

Развитие техники, в свою очередь, определяет направление физических исследований. Например, в свое время задача создания наиболее экономичных тепловых двигателей вызвала бурное развитие термодинамики. А началось все с того, что Джеймс Уатт заметил, что крышка кипящего чайника немного приподнимается под действием пара.

С другой стороны, от развития физики зависит технический уровень производства.

Физика лежит в основе создания новых отраслей техники (электронная техника, ядерная техника и др.).

Бурный темп развития физики, растущие связи ее с техникой указывают на значительную роль курса физики во втузе.

Физика является фундаментальной основой для теоретической подготовки инженера, без которой его успешная практическая деятельность невозможна.

Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед (287—212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564—1642) и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643—1727).

Механическим движением называется изменение положения тела относительно других тел с течением времени.

Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого в данных условиях можно пренебречь.

Положение материальной точки указывается при помощи радиус-вектора , соединяющего начало системы координат с данной точкой:

, (1.1)

где — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей координат: OX, OY, OZ. Значения координат данной материальной точки определяют проекции радиус-вектора на оси координат.

Модуль радиус-вектора вычисляется по формуле:

. (1.2)

Единичным вектором в направлении вектора называется вектор вида

. (1.3)

Если положение точки в пространстве изменяется, то радиус-вектор зависит от времени:

. (1.4)

Это векторная форма кинематического закона движения точки.

Конец радиус-вектора при движении точки описывает в пространстве кривую, называемую траекторией движения точки. Зависимость (1.4) эквивалентна системе уравнений:

(1.5)

Зависимость вида (1.5) называется координатной формой кинематического закона движения точки.

Расстояние между двумя положениями 1 и 2 материальной точки в пространстве определяется по формуле:

, (1.6)

где , , разности координат материальной точки, отсчитанные вдоль осей OX, OY и OZ. Вектор, соединяющий точки 1 и 2, называется вектором перемещения. Он равен разности радиус-векторов точек 2 и 1:

. (1.7)

Действительно, из рисунка 1.1 видно, что вектор равен геометрической сумме векторов и : . Из последнего уравнения и следует выражение (1.7).

С другой стороны вектор перемещения может быть представлен через разности координат:

. (1.8)

Поэтому модуль вектора перемещения из точки 1 в точку 2 определяется по формуле (1.6).

Изменение положения материальной точки с течением времени характеризуется вектором мгновенной скорости, который определяется как производная от радиус-вектора материальной точки по времени[1]:

(1.9)

Вектор мгновенной скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Его можно представить в виде:

, (1.10)

где проекции , и вектора мгновенной скорости на соответствующие оси координат вычисляются по формулам:

. (1.11)

С другой стороны, радиус-вектор материальной точки можно представить в виде:

,

где — единичный вектор, совпадающий по направлению с радиус-вектором точки. Тогда, в соответствии с формулой (1.9), вектор мгновенной скорости точки равен:

.

Первая составляющая: — направлена вдоль радиус-вектора и характеризует быстроту изменения его модуля.

Вторая составляющая: — связана с быстротой изменения направления радиус-вектора. Дело в том, что единичный вектор по величине не может изменяться и единственным способом его изменения является вращение вокруг некоторой оси. Поэтому производная от единичного вектора по времени равна произведению угловой скорости вращения радиус-вектора на перпендикулярный к нему единичный вектор , направленный в сторону возрастания угла :

.

В целях наглядности, рассмотренные кинематические характеристики , и , возникающие, например, при движении материальной точки в плоскости x, y по некоторой криволинейной траектории, представлены на рисунке 1.2.

Модуль вектора мгновенной скорости определяется следующим образом:

. (1.12)

Направление вектора мгновенной скорости определяется при помощи направляющих косинусов:

. (1.13)

Средняя скорость перемещения материальной точки за время от до определяется по формуле:

, (1.14)

где — вектор перемещения точки за то же время.

Из предыдущей формулы следует, что перемещение можно выразить через среднюю скорость перемещения:

. (1.15)

Путь определяют как длину дуги между точками 1 и 2. При смещении материальной точки вдоль траектории на бесконечно малую величину, ее путь можно записать следующим образом:

.

Проинтегрировав полученное выражение по времени от до , найдем, что:

, (1.16)

где — производная от по , — производная от по , и — значения координаты в моменты времени и , соответственно. Зависимость называют естественной формой кинематического закона движения точки.

Изменение вектора скорости с течением времени характеризуется вектором мгновенногоускорения, который определяется как производная от вектора скорости по времени:

. (1.17)

Вектор ускорения материальной точки можно представить в виде:

, (1.18)

где , и — проекции вектора ускорения на соответствующие оси координат.

Модуль вектора ускорения вычисляется следующим образом:

. (1.19)

Направляющие косинусы вектора ускорения равны

. (1.20)

Ускорение характеризует изменение величины и направления скорости в целом. Оно может быть представлено в виде векторной (геометрической) суммы тангенциального и нормального ускорений:

. (1.21)

Модуль ускорения выражается через модули тангенциального и нормального ускорений при помощи теоремы Пифагора:

. (1.22)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 10282 — | 7952 — или читать все.


Загрузить всю книгу

§2. Векторы

Величины, характеризующиеся числовым значением, определенным, направлением и складывающиеся по правилу параллелограмма, называется векторами

Величины, характеризующиеся числовым значением, определенным, направлением и складывающиеся по правилу параллелограмма, называется векторами. Они играют в физике большую роль.

Примеры: вектор перемещения — r, вектор ускорения — a, вектор скорости — v, вектор напряженности электрического поля — E, вектор магнитной индукции — B и т.д.

Модулемвектора — называется числовое значение вектора.

Модуль вектора — всегда положительный скаляр.

Модуль вектора обозначается той же буквой обычного шрифта либо буквой полужирного шрифта, по бокам которой ставят вертикальные черточки:

— модуль вектора а.

Во всех случаях, когда это возможно, модуль вектора нужно обозначать буквой обычного шрифта. Однако, в некоторых случаях модуль можно обозначать только с помощью боковых черточек.

— обозначение модуля вектора перемещения.

Векторы обозначаются буквами полужирного шрифта — r, a, E, B, или, при письме, буквой со стрелкой над ней: ` r

Скаляр— величина, определяемая лишь числовым значением.

Примеры: масса — m, время — t, энергия — W и т.д.

Свободный векторвектор, который может быть отложен из любой точки пространства.

Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну и ту же, либо в противоположные стороны) называютсяколлинеарными.

Рис.2.1. Коллинеарные векторы а, b, c направлены вдоль параллельных прямых

Путем переноса коллинеарные векторы могут быть. расположены на одной и той же прямой.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях называются компланарными.

Рис. 2.2. Вектор ` с1 является суммой векторов ` в и ` а

Рис.2.3. Вектор ` с2 является разностью векторов ` а и ` в

Разностью векторов ` с и ` в называют вектор с2, который в сумме с в дает ` а

Модуль разности векторов равен: модуль

Приращение — это то, что стало, минус то, что было.

Обозначают приращение символом D — дельта. Пусть первоначальная длина некоторого вектора ` а1, конечная — ` а2.

.

это выражение называется приращением вектора а.

Например Δ W = W 2— W 1 — приращение энергии.

Модулем приращения вектора ` а — называется выражение:

.

Приращением модуля вектора ` а называется выражение:

.

Произведением вектора а на скаляр (α) называется вектор b, модуль которого в (α) раз больше модуля вектора а, а направление совпадает с направлением а, если скаляр положителен (α>0)и противоположно направлению а, если скаляр (α

Рис. 2.4. Между векторами a, b, c имеются соотношения: а=-b; b=-a; c=2a; c=-2b

Векторы нельзя сравнивать друг с другом, не бывает положительных и отрицательных векторов, невозможны равенства вида а>c. Соотношение

а=-с означает лишь, что векторы а и с имеют одинаковые модули, а направления этих векторов противоположны.

Из правила умножения вытекает, что любой вектор а можно представить в виде:

.

где а — модуль вектора а, а ea — вектор с модулем равным единице, направленный так же, как и вектор а.

Вектор ea называется единичным вектором или ортом вектора а.

Орт вектора — безразмерная величина. Орты можно сопоставлять не только векторам, но и направлениям в пространстве, например координатами осям: ex — орт оси x; ey — орт оси y; ez — орт оси z.

Проекцией вектора а на ось l называется величина:

.

где а — модуль вектора а, φ — угол между направлением вектора и осью l.

Рис.2.5.. Проекция вектора а на ось l

Всякий вектор можно представить в виде векторной суммы составляющих вектора.

.

Рис. 2.6. Разложение вектора на составляющие

Введем орты координатных осей — ex , ey , ez или i, j, k — они полностью определяют систему координат и называются базисом координатной системы.

Проекции вектора на координатные оси называются компонентами вектора. Компонента вектора — скаляр, составляющая — вектор.

Вектор, проведенный из начала координат в данную точку называется радиусом — вектором r.

Считая, что проекции вектора r на координатные оси – ( rx , ry , rz ), имеем:

.

Если c=а+в ,то проекция результирующего вектора равна сумме складываемых векторов:

.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов а и b называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними:

.

Рис. 2.6. Скалярное произведение векторов.

Произведение | a | cos α= ab равно проекции вектора а на направление вектора b, а произведение | b | cos α= ba — проекции вектора b на направление вектора a.

Из рис.2.6. следует, что скалярное произведение модуля одного вектора можно рассматривать как произведение модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию другого вектора на направление первого.

Скалярное произведение обладает свойствами коммутативности и дистрибутивности. Коммутативность означает, что произведение не зависит от порядка сомножителей: ab=ba. Дистрибутивность заключается в том, что произведение сумм векторов равно сумме произведений слагаемых, взятых попарно, например:

.

Аналогичное равенство имеет место при любом числе слагаемых в каждом сомножителе. Скалярные произведения exey =0, т.к. , а .

Под квадратом модуля понимают скалярное произведение вектора самого на себя:

.

Векторное произведение векторов

Рис. 2.7. Векторное произведение векторов a и b

Векторным произведением векторов а и b называется вектор, обозначаемый символом [ab] или ( a*b) и определяемый формулой:

.

где |а| и |b| — модули перемножаемых векторов, α — угол между векторами, n — орт нормали к плоскости, в которой лежат векторы a и b. Направление n выбирается так, чтобы (a, b, n) — тройка векторов образовывала правовинтовую систему: если смотреть вдоль вектора n, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.

Векторное произведение в отличие от скалярного некоммутативно, но обладает свойством дистрибутивности.

Свойства векторного произведения:

1. . — оно некоммутативно

2. — оно дистрибутивно

Ссылка на основную публикацию
Что означает ошибка 110
Ошибка 110 в Android происходит главным образом при обновлении или установке приложений из Google Play. Случается это из-за несовместимости ОС:...
Что выбрать windows 7 или windows 10
Сегодня в нашем блоге «Чо?! Чо?!» я раскрою все преимущества и недостатки новой операционной системы для ноутбуков, сравнив ее с...
Что в китае дешевле чем в россии
Я экономлю тысячи рублей, покупая товары из Китая через интернет Сегодня я расскажу Вам о том, что выгодно покупать в...
Что означает ошибка 963
Ошибки в Google Play дело достаточно частое, это не удивительно, ведь Плей маркет – это один из крупнейших магазинов приложений....