Числовые ряды математический анализ

Числовые ряды математический анализ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет приборостроения и информатики

кафедра высшей математики

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

учебное пособие для студентов дневной формы обучения для самостоятельной подготовки.

Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие для студентов дневной формы обучения для самостоятельной подготовки. Сост.: к.т.н., доц.. Зюзько Т.Н. ./МГУПИ. М. 2007.

Излагаются основные методы исследования числовых рядов на сходимость, нахождения областей сходимости степенных рядов, применения рядов к приближенным вычислениям. Приведены примеры решения различных типов задач.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по дневной форме обучения. Библиогр: 5.

Рецензент: к.ф.-м.н., доц. Таперечкина В.А.

1.Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Вычисление суммы сходящегося ряда.

2.Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

3.Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость.

4. Приближенное вычисление суммы числовых рядов

5.Степенные ряды. Нахождение области сходимости степенного ряда

6. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Приложения к приближенным вычислениям.

Данные методические указания состоят из двух разделов . В первом разделе указаны основные методы исследования на сходимость числовых рядов, способы приближенного и точного вычисления суммы числового ряда. . Второй раздел посвящен функциональным рядам: рассмотрены задачи на вычисление области сходимости степенных рядов, разложение функции в ряд Тейлора и приложения степенных рядов к приближенным вычислениям, рассмотрены задачи на разложение функции в ряд Фурье. Цель данного пособия — помочь студенту самостоятельно подготовиться к экзамену. При написании пособия автор не ставила своей целью дать систематическое изложение теоретического материала. Перед каждой рассматриваемой задачей дается тот теоретический материал, который необходим для ее решения.

§1. Основные определения. Необходимый признак сходимости ряда. Вычисление суммы сходящегося числового ряда.

Прежде чем приступить к решению задач дадим основные определения. Определение 1. Пусть < a n >— последовательность действительных чисел. Выражение

Читайте также:  Шторки на номера автоматические

a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n +…= ∑ a n

называется числовым рядом .

Сумму n первых слагаемых называют n -ой частичной суммой ряда и обозначают S n :

S n = a 1 + a 2 +… a n .

S 2 = a 1 + a 2 , S 3 = a 1 + a 2 + a 3 , …

Частичные суммы ряда S 1 , S 2 ,

S 3 , … образуют бесконечную числовую

Выражение a 1 + a 2 + a 3 +…+ a n

+…= ∑ a n само по себе определенного смысла не имеет,

потому что действие сложения производится над конечным числом слагаемых. Этот смысл выражению предстоит приписать нам самим.

Введем понятие суммы ряда.

Определение 2. Суммой числового ряда S называется предел последовательности частичных сумм ряда < S n >, если этот предел существует и конечен:

Числовой ряд при этом называется сходящимся .

В противном случае, т.е. если lim S n равен бесконечности или не существует, то

ряд называется расходящимся .

Определение 3. Пусть дан ряд ∑ a n .

Ряд r n = a n + 1 + a n + 2 +… , полученный из исходного отбрасыванием n первых членов называется n -м остатком ряда .

Можно доказать, что если lim r n = 0 , то ряд сходится (существует конечная сумма S )

и наоборот: остаток r n сходящегося ряда стремится к нулю с увеличением номера n .

Основной целью теории числовых рядов является установление факта сходимости или расходимости тех или иных рядов и вычисление суммы сходящихся рядов. При этом найти точное значение суммы ряда удается далеко не всегда. В этом случае используются методы приближенного вычисления суммы ряда.

Существует довольно много приемов, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость рядов. Такие приемы называются признаками сходимости. К рассмотрению некоторых из них мы и приступаем.

Теорема ( необходимый признак сходимости числового ряда ).

Если ряд ∑ a n сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е.

Из необходимого признака следует, что если n -ый член ряда не стремиться к нулю, то ряд расходиться. Именно это утверждение удобно использовать для решения задач.

Отметим, что необходимый признак не является достаточным, т.е. если lim a n = 0 ,

Читайте также:  Как поставить знак среднего значения в ворде

то о сходимости ряда ничего сказать нельзя: он может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Задача №1. Исследовать ряд на сходимость ∑ n 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 +…+ n 2 +… .

Ссылка на основную публикацию
Хороший принтер для школьника
Для ученика возможность распечатывать доклады, рефераты и иллюстрации для занятий в школе - совсем не лишняя. Школьнику в XXI веке...
Файл с расширением dav чем открыть
Файл формата DAV открывается специальными программами. Чтобы открыть данный формат, скачайте одну из предложенных программ. Чем открыть файл в формате...
Файл подкачки windows 7 на флешку
В прошлой статье рассказано, как определиться с оптимальным размером файла подкачки, что делать с SSD-дисками и как установить размер файла...
Хороший телефон с aliexpress
Обновлено 22.10.2019 На Алиэкспресс есть много разных производителей смартфонов. Даже есть такие международные бренды, как Apple. В этой подборке мы...
Adblock detector