Численное интегрирование методом эйлера

Численное интегрирование методом эйлера

Метод Эйлера является сравнительно грубым, однако идеи, положенные в его основу, являются основой для многих более точных численных методов. Поэтому рассмотрим его

Пусть имеется дифференциальное уравнение первого

с начальными условиями х=хО, у = у0, у’=у’О.

Выберем число h настолько малым, чтобы для всех х в интервале (xO,xl), где xl=xO+h, значения функции у мало от­личались от уО. Тогда для этого интервала изменения х можно написать:

yl = уО + (xl — хО) у’О.

Отсюда следует, что величина yl вычисляется по из­вестным, заданным нами, начальным условиям и по формуле прямой линии.

Нетрудно догадаться, что, в случае принятия за на­чальные условия вычисленные значения yl, у’1 = (у1-у0)/п, можно вычислить для х2 величину функции у2, а также сле­дующее значение производной в точке 2 (у’2).

В общем виде получим:

У;+1 = У; + h у’; У’ i+i = (У i+i — yi)/h

Пример. Решение дифференциального уравнения энергообеспечения мышечного сокращения.

Начальные условия. Примем концентрацию АТФмах за 5 мМ на 1 кг сырой массы мышцы, концентрацию КрФ мах за 15 мМ/кг, интервал времени dt=O.OOl, начальное время t0=0, начальная концентрация Са = Самах = 10, ионов водорода Н=0.

1 шаг. Вычислим скорость расхода АТФ в начальный
момент времени:

V1=V1max • ATP/ATPmax* Ca/Camax • 1/(1+Н)

2 шаг. Вычислим скорость ресинтеза КрФ в начальный
момент времени.

V2 = V2max • (1 — ATP/ATPmax) • CrP/CrPmax

3 шаг. Вычислим изменения в количестве АТФ за ин­
тервал времени dt

ATPi = ATPo + (V2 — V1) • dt

4 шаг. Печатаем результат вычислений: время, ATPi.

5 шаг. Вычисления повторяются с 1 шага.

Реализация этого алгоритма дает набор чисел, показы­вающих изменение концентрации АТФ во времени, т.е. реше­ние дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2015-06-05 ; просмотров: 618 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Читайте также:  Как убрать безопасный режим на микромаксе

Рисунок 4. Структурная схема алгоритма метода Эйлера.

Листинг программы MATLAB реализации метода Эйлера:

function [t,x] = eilera_difur(funkc,interval,inital,h)

Листинг программы MATLAB реализации метода Рунге-Кутта 4 порядка:

function [t,x] = Rungekutta4(funkc,interval,inital,h)

Метод Эйлера является простейшим методом решения задачи Коши и имеет невысокую точность, поэтому на практике его используют достаточно редко. Однако на его основе в дальнейшем легче объяснить алгоритмы более эффективных (и, как правило, более сложных) методов и способы построения и исследования этих алгоритмов.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

ЭЙЛЕР ЛЕОНАРД (Euler Leonhard; 1707—1783)— великий математик, механик и физик, швейцарец по происхождению, академик Петербургской АН. Необыкновенно широк был круг исследований Э., охватывавших все отделы современной ему математики и механики, теорию упругости, оптику, теорию музыки, баллистику, теорию машин, морскую науку и т. д. Основные достижения Э. как математика заключались в разработке математического анализа. Он стал создателем вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений, теории специальных функций. По выражению П. Лапласа, Э. явился общим учителем математиков 2-й половины XVII в. Мировое признание принесли Э. его труды по механике.

Обозначим границы отрезка а и Ь через х и xN соответственно и введем на отрезке [а, ?>] сетку (в общем случае неравномерную) значений аргумента х такую, чтобы выполнялось соотношение х

Аналогично можно получить производные более высоких порядков.

Однако использование формулы (3.15) с большим числом членов имеет ряд недостатков: во-первых, с ростом порядка производной выражение для нее может оказаться очень сложным; кроме того, если функция f известна лишь приближенно или задана таблично, ее производные находятся с большой ошибкой. В связи с этим в разложении (3.15) оставляют только два члена. При такой замене вместо точного решения и<хп т j) получается его приближенное значение и(хп + t), которое находится по формуле

Читайте также:  Как включить модуль wifi на ноутбуке lenovo

Так как значение п(дс) = ь то, последовательно пользуясь женные решения uv и2, . uN,

известно из начального условия, формулой (3.16), находим прибли- Формула (3.16) записана для случая неравномерной сетки. Полагая шаг сетки hn = h постоянным, получим

Формула (3.16а) является ОСНОВНОЙ ФОРМУЛОЙ МЕТОДА ЭЙЛЕРА или МЕТОДА ЛОМАНЫХ. Последнее название становится понятным из геометрической интерпретации схемы, представленной на рис. 3.1, на которой изображено семейство интегральных кривых уравнения (3.14).

Как видно, решение задачи Коши по методу Эйлера дает решение, не совпадающее ни с одной из интегральных кривых, и является ломаной линией, совпадающей на каждом шаге с касательной к соответствующей интегральной кривой. Из рис. 3.1 следует, что метод Эйлера дает одностороннее приближение к точному решению и(х). Сравнение формул (3.15) и (3.16) показывает, что метод Эйлера обладает вторым порядком точности на шаге, являясь в то же время методом первого порядка аппроксимации на интервале.

Существует несколько модификаций метода Эйлера. Остановимся на одной из них — методе Эйлера с пересчетом, который называют также МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА — КОШИ. В этом методе значение ип _ j находится по формуле

т. е. вместо тангенса угла наклона касательной к интегральной кривой в точке (хп, ип), который имеет место в формуле (3.16а), выражающей метод Эйлера, используется полусумма значений тангенсов углов наклона касательных в известной п, ип) и искомой (хп + j, ип + t) точках. Поскольку, однако, значение ип + г неизвестно, то (3.17) есть в общем случае нелинейное уравнение относительно ип + 1, которое можно решить различными методами, изложенными в главе 1.

В рассматриваемом случае логично использовать метод простой итерации, представленный формулой (1.10), поскольку нелинейное уравнение уже разрешено относительно ип + v Тогда, если номер итерации обозначить верхним индексом, итерационный процесс запишется в виде

Читайте также:  Человека сбила машина насмерть

В качестве значения и ( л 0) +1 можно принять либо ип, либо и^+1 =

ип + hf(xn, ип), т. е. использовать значение, вычисленное по формуле Эйлера (3.16а). В этом случае в первой итерации имеем

Формула (3.19) и есть ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА МЕТОДА ЭЙЛЕРА С ПЕРЕСЧЕТОМ. Подобные схемы часто называют схемами типа ПРОГНОЗ-КОРРЕКТОР (ПРЕДИКТОР-КОРРЕКТОР). Сначала по формуле (3.16) определяется прогнозируемое приближение решения, а затем по формуле (3.19) это решение уточняется.

Метод Эйлера с пересчетом обладает третьим порядком точности на шаге. Действительно, из соотношения (3.15) следует

Разлагая в ряд второй член в квадратных скобках (3.19), имеем

Подставляя правую часть соотношения (3.21) в последний член выражения (3.19), получаем

Сравнивая соотношения (3.20) и (3.22), видим, что метод Эйлера с пересчетом обладает третьим порядком точности на шаге и, соответственно, вторым на интервале. Метод Эйлера с пересчетом дает двустороннее приближение к решению.

Отметим, что поскольку нулевое приближение итерационного процесса задано, то итерационный процесс (3.18) можно продолжать до достижения заданной точности. Однако последующие итерации не повышают порядка точности схемы, и поэтому на практике используют одну-две итерации. Будет показано, что метод Эйлера и метод Эйлера с пересчетом являются частными случаями двухстадийных схем Рунге — Кутты.

Ссылка на основную публикацию
Хороший принтер для школьника
Для ученика возможность распечатывать доклады, рефераты и иллюстрации для занятий в школе - совсем не лишняя. Школьнику в XXI веке...
Файл с расширением dav чем открыть
Файл формата DAV открывается специальными программами. Чтобы открыть данный формат, скачайте одну из предложенных программ. Чем открыть файл в формате...
Файл подкачки windows 7 на флешку
В прошлой статье рассказано, как определиться с оптимальным размером файла подкачки, что делать с SSD-дисками и как установить размер файла...
Хороший телефон с aliexpress
Обновлено 22.10.2019 На Алиэкспресс есть много разных производителей смартфонов. Даже есть такие международные бренды, как Apple. В этой подборке мы...
Adblock detector